n球比赛的期望值

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微博:yuange1975

发表于:09.11 07:50

n球的比赛,双方实力50:50,用1记录比赛结果,补齐一直到2n-1个球,结果形成2n-1长度的01串,所以总结果局数是2^(2n-1)。n:i的结果为前面n+i01串长度里面最后一个i方输球,i方在前面n+i-1个球里面赢i个球,后面n-1-i长度任意,所以这个的比赛局数是2*c(n-1+ii)*2^(n-1-i)。

g(n)=∑2*c(n-1+i,i)*2^(n-1-i)。(i=0 to n-1)

g(n)=2^(2n-1)

g(n+1)=∑2*c(n+i,i)*2^(n-i)=2^(2n+1)。(i=0 to n)

n:i的长度为n+i,所以期望值是

f(n)=1/2^(2n-1)*∑2*(n+i)*c(n-1+i,i)*2^(n-1-i)。(i=0 to n-1)

n+i换入c()里面,n提取出来,

f(n)=1/2^(2n-1)*∑2*n*c(n+i,i)*2^(n-1-i)

     =n/2*1/2^(2n-1)*∑2*c(n+i,i)*2^(n-i

g(n+1)一样就差最后i=n一项

     =n/2*1/2^(2n-1)*(g(n+1)-2*c(2n,n))

     =n*(2-c(2n,n)/2^(2n-1))